El análisis de gráficos puede ser interpretado de diversas maneras según investigadores, para  Bertin la lectura de estos consiste en la identificación externa del tema con la comprensión del título y sus etiquetas, aun así define tres niveles de lectura para estos; la Extracción de Datos que consiste en identificar la relación de un eje con otro, la Extracción de Tendencias cuando se percibe la relación entre dos subconjuntos y el Análisis de la Estructura es hacer la comparación y generar argumentos haciendo predicciones según la información. Pero para Gerber Boulton-Lewis y Bruce la comprensión de estos consiste en siete niveles, en el primero no se centra en los datos sino en la asociación de características con nuestros conocimientos, en el segundo no se llega a preciar el propósito del gráfico, en el tres ya se llega a apreciar el gráfico y se analizan cada uno de los elementos, en el cuarto se analiza cada variable pero no de manera conjunta, en el cinco ya se comparan varias variables del mismo gráfico, en el nivel seis el gráfico permite apoyar las teorías que se tiene y generar hipótesis y en el nivel siete ya se pueden hacer predicciones para otros datos no representados en el gráfico una vez completado los siete niveles se dividen a las personas en tres categorías los racionales o literales que leen correctamente el gráfico pero no cuestionan; los críticos leen, comprenden, evalúan y cuestionan pero no buscan otras hipótesis y los hipotéticos son los que están completos, leen, interpretan, evalúan y forman sus propias hipótesis y modelos.

El Análisis  Porcentual  consiste en representar el porcentaje de cada uno de los valores totales absolutos que se tenga, facilita la comprensión entre comparaciones y es útil para evaluar las magnitudes en el cambio relativo de los datos.

Análisis de gráficos y análisis porcentual

Análisis de gráficos

Bertin (1967) sugiere que la lectura de un gráfico comienza con una identificación externa, del tema al que se refiere el gráfico, a través de la comprensión del significado del título y las etiquetas. A continuación se requiere una identificación interna, de las dimensiones relevantes de variación en el gráfico: variables representadas y escala. Finalmente se produce una percepción de la correspondencia entre los niveles particulares de cada dimensión visual para obtener conclusiones sobre los niveles particulares de cada variable y sus relaciones en la realidad representada. A partir de estos supuestos define diversos niveles de lectura de un gráfico:

• Extracción de datos: Consiste en poner en relación un elemento de un eje con el de otro eje. Por ejemplo, en un diagrama de barras leer la frecuenta asociada a un valor de la variable o bien en un diagrama de dispersión leer las coordenadas de uno de los puntos.
• Extracción de tendencias: Cuando se es capaz de percibir en el gráfico una relación entre dos subconjuntos de datos que pueden ser definidos a priori o visualmente. Por ejemplo, al determinar visualmente la moda de una distribución en un diagrama de barras, se clasifican los datos en subconjuntos (que tienen un mismo valor para la variable) y se comparan entre sí estos subconjuntos para ver cual tiene mayor frecuencia.
• Análisis de la estructura: analizando la estructura de los datos, comparando tendencias o agrupamientos y efectuando predicciones. Por ejemplo, cuando se representa en un diagrama de barras adosadas dos distribuciones y se analizan las diferencias en promedios y dispersión de las mismas.

  Un modelo algo mas complejo es debido a Gerber, Boulton-Lewis y Bruce (1995), quienes diferencias siete niveles de comprensión de gráficos, en función de las competencias de los estudiantes para interpretarlos:

•  Nivel 1: Los estudiantes no se centran en los datos, sino que asocian algunas características de los mismos, con su conocimiento del mundo en forma imprecisa. Por ejemplo, si les hacemos una pregunta sobre edades de niños representados en un gráfico, pueden responder dando su edad.
• Nivel 2 y 3: Los estudiantes se centran en los datos representados, pero de forma incompleta. En el nivel 2 no llegan a apreciar el propósito del grafico e interpretan solo aspectos parciales de los datos, por ejemplo, solamente leen una de las barras del diagrama de barras. En el nivel 3 los estudiantes aprecian el propósito del gráfico y analizan todos los elementos uno a uno, pero no llegan a una síntesis global, al no comprender algún elemento especifico que es clave en la representación.
•  Niveles 4, 5 y 6: Una vez que el estudiante llega a una síntesis global puede todavía tener una interpretación estática de los gráficos, y podemos diferenciar tres niveles diferentes. En el nivel 4 los estudiantes son capaces de analizar una a una las variables representadas en el  mismo gráfico, pero no conjuntamente, por ejemplo, si representamos la esperanza de vida de hombre y mujeres en diversos países en un gráfico de líneas, los alumnos interpretan por un lado la esperanza de vida de los hombres y por otro lado los de las mujeres. En el nivel 5 se comparan varias variables representadas en el mismo gráfico. En el nivel 6 los estudiantes usan los gráficos para apoyar sus teorías. No sólo comparan varias variables en el mismo gráfico, sino sacan conclusiones generales respecto a una hipótesis.
• Nivel 7: En el último nivel los estudiantes son capaces de hacer extrapolaciones, y hacer predicciones para otros datos no representados en el gráfico.

Una vez que los estudiantes llegan al nivel superior, todavía podemos diferenciar tres grupos.

• Nivel racional/literal: Los estudiantes leen correctamente el gráfico, incluyendo la interpolación, detección de tendencias y predicción. Para responder la pregunta planteada, usan las características del gráfico, pero no cuestionan la información, ni dan explicaciones alternativas.
• Nivel crítico: Los estudiantes leen los gráficos, comprenden el contexto y evalúan la fiabilidad de la información, cuestionándola a veces, pero no son capaces de buscar otras hipótesis.
• Nivel Hipotético: Los estudiantes leen los gráficos, los interpretan, evalúan la información, forman sus propias hipótesis y modelos.

Análisis porcentual

Consiste en estudiar las magnitudes del balance, no en términos absolutos, sino como porcentaje del activo total. Del mismo modo, las partidas de la cuenta de pérdidas y ganancias se analizan como porcentaje de las ventas totales.

Se dice que es vertical porque va de arriba hacia abajo, induciendo una partida de otra. Generalmente todas las partidas del estado de resultados se presentan calculando qué porcentaje de las ventas netas representa cada una de ellas. Este tipo de análisis facilita las comparaciones y es útil para evaluar la magnitud y el cambio relativo a las partidas. Además, la reducción de los valores monetarios a porcentuales permite la comparación entre entidades de diferentes envergaduras. Aquí el factor tiempo no es sustancial y es conveniente hacerlo año con año, pues de esta manera se va teniendo una historia, en números relativos y números absolutos, dentro de un mismo estado. Es más significativo este análisis en el estado de resultados que en el balance general.

Referencias:

Pedro Arteaga

Análisis de gráficos estadísticos elaborados en un proyecto de análisis de datos (2009).

Universidad de Granada.

Proposiciones 
En conclusión podemos decir: 

Las proposiciones son afirmaciones que narran un hecho real o imaginario escrito o no, el cual podemos comprobar si su valor de verdad es falso o verdadero aplicando las tablas de verdad cada tabla varia su valor de acuerdo a las preposición que se nos presenten si es una conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, proposición condicional o bicondicional y las que son de doble implicación o bicondicional, así mismo encontramos también la de negación que en esta solo se cambia su valor es decir, sí es verdadera su negación será Falsa o viceversa. Es así como haciendo una buena relación entre las proposiciones y las tablas de verdad estas nos permitirán conocer el valor de verdad de cada oración así como su forma correcta de expresión.



Teoría de Conjuntos 
En conclusión podemos decir:
La teoría de conjuntos nos permite identificar, separar o agrupar datos que tengan las mismas características es decir, que tengan relación unos con otros si así lo desea el investigador, para que los demás tengan un concepto claro y el cómo se obtuvieron los resultados se pueden representar con diagramas de Venn estos diagramas nos permiten tener una idea más clara y más amplia de cómo se identifican y separan los datos según las interrogantes que se presentan, por tanto la teoría de conjuntos nos permite separa un todo en varias partes y así identificar el objetivo que se busca.


Método de Polya
En conclusión podemos decir:
El Método Polya consiste básicamente en cuatro pasos fundamentales que siguiéndolos correctamente nos permitirán resolver cualquier problema lógico y matemático que se nos presente, ya que el primer paso nos indica que debemos identificar claramente cuáles son nuestros datos que se nos proporcionan, luego buscar una estrategia que nos permita resolver de manera clara y fácil nuestro problema, luego poner en practica la estrategia con nuestros datos una vez terminado y teniendo nuestro resultado podemos determinar si nuestra respuesta satisface nuestra interrogante; por lo que el método polya es uno de los mejores métodos que permiten resolver problemas.

EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACIÓN MÁS TABLAS DE VERDAD

Construya la tabla de verdad de las siguientes fórmulas. Indique qué fórmulas son tautológicas, cuáles contradictorias y cuáles indeterminadas.

1.

p	&	q	->	p
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	F	V	V	F
F	F	F	V	F

2.

p	v	(	q	->	r	)
V	V		V	V	V
V	V		V	F	F
V	V		F	V	V
V	V		F	V	F
F	V		V	V	V
F	F		V	F	F
F	V		F	V	V
F	V		F	V	F

JUEGOS CON EL MÉTODO POLYA

1. Juego estrategia 21 fichas.

Se juega en parejas.
Cada persona por turno puede quitar 1, 2, 3 ó 4 fichas.
El que se lleva la última ficha pierde.


2. Juego estrategia: llegar a 31

Se juega por parejas.
Cada jugador de forma alternativa puede sumar números del 1 al 5.
Empieza un jugador con un número, el siguiente elige otro y se suman, se continúa sucesivamente.
Gana el jugador que llega a 31.

Juego de Teoría de Conjuntos

Exprese de las cuatro formas posibles “el conjunto de los animales vertebrados”:

Por extensión: A={mamíferos, reptiles, aves, anfibios, peces}

Por comprensión: A = {x /x es un animal vertebrado}

Por diagrama de Venn:

Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Simbología de conjuntos

Símbolo  Descripción

{}            Conjunto

∈            Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉            No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

⎜            Tal que.

n (C)      Cardinalidad del conjunto C.

U            Conjunto Universo.

Φ            Conjunto Vacío.

⊆            Subconjunto de.

⊂            Subconjunto propio de.

⊄            No es subconjunto propio de.

>             Mayor que.

<             Menor que.

≥             Mayor o igual que.

≤             Menor o igual que.

∩            Intersección de conjuntos.

∪            Unión de Conjuntos.

A'           Complemento del conjunto A.

=             Símbolo de igualdad.

≠             No es igual a.

...            El conjunto continúa.

==>        Entonces.

⇔          Si y sólo sí.

∼            No (es falso que).

∧            Y

∨            O

Relación de la lógica proposicional con las operaciones entre conjuntos

Después de ver las definiciones de las operaciones estudiemos algunas propiedades que satisfacen  las llamadas leyes del  álgebra de conjuntos.

Para empezar veamos que la diferencia y la diferencia simétrica se pueden escribir en función de unión, intersección y complemento. Como en el caso de proposiciones lógicas, también la unión se puede expresar en términos del complemento y la intersección, o la intersección en función del complemento y la unión pero es habitual considerar estas tres por el paralelismo con las proposiciones.

Dado un conjunto E y subconjuntos A y B del mismo

A \ B = A ∩ B^c,

A4B = (A ∩ B^c) ∪ (B ∩ A^c).

Para probar la primera igualdad escribimos la definición de cada miembro y comprobamos que son iguales:

A \ B = {x ∈ E |(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)},

A ∩ B^c = {x ∈ E |(x ∈ A) ∧ (x ∈ B^c)} = {x ∈ E, (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)},  donde se ha sustituido x ∈ B^c por su proposición equivalente x /∈ B.

Para probar la segunda igualdad basta usar la definición de diferencia simétrica.

Entonces, las leyes del álgebra de conjuntos son las leyes del  álgebra de las operaciones complemento, unión e intersección. A continuación enumeramos algunas de tales leyes. No son todas, pues se pueden deducir otras nuevas a partir de estas. Tampoco son independientes entre ellas, pues algunas de la lista se pueden deducir de otras. Es una elección arbitraria de las más útiles y habituales.

Sea E un conjunto y A, B y C subconjuntos arbitrarios de él.

Entonces se cumple:

1. Ley del doble complemento:

(Ac)^c= A.

2. Leyes de impotencia:

A ∪ A = A,

A ∩ A = A.

3. Leyes conmutativas:

A ∪ B = B ∪ A,

A ∩ B = B ∩ A.

4. Leyes asociativas:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

CONJUNTOS

5. Elementos neutros de la unión y la intersección: el vacío es neutro de la unión y el conjunto E es neutro de la intersección:

A ∪ ∅ = A,

A ∩ E = A.

6. Elementos dominantes de la unión y la intersección: el conjunto E es dominante en la unión y el vacío lo es en la intersección:

A ∪ E = E,

A ∩ ∅ = ∅.

7. Leyes del complemento:

A ∪ Ac = E,

A ∩ Ac = ∅.

8. Leyes distributivas:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

9. Leyes de absorción:

A ∪ (A ∩ B) = A,

A ∩ (A ∪ B) = A.

10. Leyes de De Morgan:

(A ∪ B)^c = Ac ∩ B^c,

(A ∩ B)^c = Ac ∪ B^c.

Uso de conjuntos en la toma de decisiones

En la vida real, y tanto en el ámbito profesional como el personal, nos vemos enfrentados a multitud de situaciones en las que tenemos que decidir entre varias alternativas.

En el planteamiento convencional de la toma de decisión se tienen en cuenta los siguientes elementos, S. Ríos (1976):

El decisor que viene dado por la persona o grupo de personas interesadas en resolver el problema en cuestión. Este decisor, de acuerdo con sus preferencias, adoptará una única decisión, la óptima.

El conjunto de alternativas, sobr4e las cuales realizara el decisor su elección.

El conjunto de las restricciones referentes a la elección a realizar en el conjunto de las alternativas.

El ambiente en el que se desenvuelve la decisión, también denominado naturaleza, que recoge el conjunto de factores no controlados por el decisor. Este ambiente o naturaleza es susceptible de separarse en estados, constituyendo cada uno de estos un conjunto de características que individualizan la situación del decisor en lo que se refiere al mundo exterior.

El conocimiento relativo sobre tales estados hace posible hablar de tres tipos de ambientes (Luce y Raiffa, 1957):

Ø  Ambiente de certeza total, que se da cuando el decisor conoce los estados posibles y sabe cuál se presentará.

Ø  Ambiente de riesgo, en el cual los estados se consideran aleatorios y se supone conocida a su ley de probabilidad.

Ø  Ambiente de incertidumbre, o de ausencia de información sobre los estados de la naturaleza.

Referencias

Castillo, C. I. (s.f.). Lógica y teoría de conjuntos.

Raposo, A. P. (s.f.). Lógica, conjuntos, relaciones y funciones.

S., L. (1996). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill.

Estrategias de George Pólya

Método de George Pólya

La obra de George Pólya es bien conocida por todos los matemáticos, ya sean investigadores o profesores que se limiten a su labor docente. Es uno de los nombres míticos en la historia moderna de las matemáticas y su enseñanza, sobre todo a través de los problemas. Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede tener un problema.

La aplicación de este método permite la comprensión de situaciones matemáticas, en cuatro pasos fundamentales, los mismos que conducen a la solución de dichos problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en este proceso. (Pólya, 1989, p.102). En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. La obra de Pólya explota la inquietud que todos poseemos por descubrir y pone en juego las facultativas inventivas para resolver  problemas. Está basado en un estudio profundo de los métodos de solución llamado método Pólya.

Para ello el profesor de matemática tiene una gran oportunidad de  poner a prueba la curiosidad de los estudiantes, planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de  preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento significativo y proporcionarles ciertos recursos para ellos. El método Pólya está constituido por estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas para la solución de problemas,  basadas en la experiencia previa con problemas similares. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos,  por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.

Etapas en la aplicación del método de George Pólya

Pólya (1949), citado por Echenique (2006), establece cuatro etapas en la resolución de un problema:

1.    Comprender el problema

Implica entender tanto el texto como la situación que presenta el problema, diferenciar los distintos tipos de información que ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con la información que es aportada. Se debe leer el enunciado despacio, tratando de contestar las siguientes interrogantes:

Ø  ¿Entiendes todo lo que dice?

Ø  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

Ø  ¿Distingues cuáles son los datos?

Ø  ¿Sabes a qué quieres llegar?

Ø  ¿Hay suficiente información?

Ø  ¿Hay información extraña?

Ø  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

2.    Diseñar un plan

Es la parte fundamental del proceso de resolución de  problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevarán a ella, es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder. Asimismo, que cada problema amerita una determinada estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias. Algunas de las estrategias que se pueden utilizar son:

·         Ensayo y Error: Esta estrategia consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible. Después de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en consideración los ensayos ya realizados.

·         Usar una variable: Es una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números específicos. Una variable es un símbolo constituyente de un predicado, formula, algoritmo o de una proposición.

·         Buscar un Patrón: Esta estrategia empieza por considerar algunos casos  particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solución general que sirva para todos los casos. Es muy útil cuando el  problema presenta secuencias de números o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalización.

·         Hacer una lista: Podemos transformar una serie de elementos existentes en una lista.

·         Resolver un problema similar más simple: Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos más sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del problema  planteado, más complejo.

·         Hacer una figura: En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza una figura. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.

·         Hacer un diagrama: En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un diagrama; es decir, si se halla la representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.

·         Usar razonamiento directo: Se usa virtualmente todo el tiempo junto a otras estrategias cuando se resuelven problemas. El razonamiento directo se usa para alcanzar una conclusión valida a partir de una serie de proposiciones. Con frecuencia las proposiciones que involucran el razonamiento directo son de la forma “Si A entonces B”.

·         Usar razonamiento indirecto: En matemáticas, ocasionalmente hay problemas que no son fácilmente solubles mediante el razonamiento directo. En tales casos, el razonamiento indirecto puede ser la mejor forma de resolver el problema.

·         Usar las propiedades de los Números: Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil para la solución de problemas.

·         Resolver un problema equivalente: La interpretación o punto de vista propio de algún problema puede algunas veces cambiar un problema aparentemente difícil en uno que es fácilmente soluble.

·         Trabajar hacia atrás: Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema implica un juego con números. Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando las operaciones que deshacen las originales.

·         Usar casos: Muchos problemas pueden ser resueltos más fácilmente si se parte el problema en varios casos.

·         Resolver una ecuación: Con frecuencia, cuando aplicamos la estrategia usar una variable para resolver un problema, la representación del problema conducirá a una ecuación.  

·         Buscar una fórmula: Es especialmente apropiada en problemas que involucran patrones numéricos. Esta con frecuencia, extiende y refina la estrategia de buscar un patrón y proporciona información más general.

·         Hacer una simulación: Una simulación es una representación de un experimento usando algunos objetos apropiados o incluso algún programa de computadora adecuado para el caso. El propósito de una simulación es correr muchas réplicas de un experimento que en realidad sería muy difícil llevar a cabo.

·         Usar un modelo: Es muy útil en problemas que involucran figuras geométricas o sus aplicaciones. Un modelo, es cualquier objeto físico que se asemeja al objeto buscado en el problema.

·         Usar análisis dimensional: Es útil en problemas de aplicación que involucran conversiones entre unidades de medida. Por ejemplo problemas de distancia entre tiempo.

·         Identificar sub-metas: Muchos problemas complejos pueden atacarse buscando “sub-metas” o sea, resultados intermedios que conducen a la solución final. En lugar de buscar directamente una solución total para el problema, con frecuencia podemos obtener información por partes, y una vez que las juntamos, llegamos a la solución del problema completo.  

·         Usar coordenadas: En muchos problemas de geometría bidimensional, podemos usar una cuadricula en el plano llamada sistema de coordenadas con el fin de obtener información numérica adicional. Por lo tanto, esta estrategia puede usarse para resolver problemas acerca de figuras bidimensionales. Los sistemas de coordenadas también se pueden usar en el espacio tridimensional.

·         Usar simetría: En algunos problemas pueden darse varios tipos de simetría geométrica o numérica. La simetría geométrica involucra una correspondencia entre puntos y tal vez entre formas y medidas.

3.    Ejecutar el plan

Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. En esta fase se realiza y controla el proceso de ejecución. Dentro de esta fase se tendrá en cuenta lo siguiente:

Ø  Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.

Ø  Antes de hacer algo se debe pensar ¿Qué se consigue con esto?

Ø  Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación, detallando lo qué se hace y para qué se hace.

Ø  No tener miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Ø  Comprueba y verifica cada paso.

4.    Mirar hacia atrás

Es conveniente realizar una revisión del proceso seguido,  para analizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolución. Es preciso contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada, reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías, utilizando otros razonamientos. Algunas interrogantes:

Ø  ¿Es tu solución correcta?

Ø  ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

Ø  ¿Adviertes una solución más sencilla?

Ø  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Referencias

Víctor M. Hernández L. y Martha C. Villalba G. Abril del 2003.

Lic. José Concepción Vega Rimarachín. Universidad Nacional de Cajamarca. 2014.

Proposiciones y tabla de verdad

Proposiciones y tabla de verdad

Proposición

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominamos enunciados o preposiciones.

Las preposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r… la notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”, a este tipo de proposiciones se les llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Valor de verdad

El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Ejemplo:

(a) p: Existe Premio Nobel de informática.

(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.

(d) s: Cinco más siete es grande.

Solución

(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.

Tablas de verdad

Conjunción

Si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa.

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ejemplo:

p: Ella está comiendo.

q: Es de noche  

p ∧ q: Ella está comiendo y es de noche.

Disyunción

Llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ó q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es.

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ejemplo:

p: Él es músico

q: Es bailarín.

p ∨ q: Él es músico ó es bailarín.

Disyunción exclusiva

Llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p ó q pero no ambos” y la notaremos p ṿ q. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

p	q	p ṿ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Negación

Llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

p	¬p
V	F
F	V

Ejemplo:

p: Es estudiante.

¬p: No es estudiante.

Proposición condicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama “proposición condicional” y se nota por p → q.

P	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Ejemplo:

p: Juan tiene dos mascotas.

q: Ambos son perros.

p → q: Si Juan tiene dos mascotas, entonces ambos son perros.

Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y sólo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q.

La interpretación del enunciado es: p sólo si q y p si q,  o lo que es igual si p, entonces q y si q, entonces p, es decir, (p → q) ∧ (q → p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

p	q	p → q	q → p	p ←→ q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

 Ejemplo:

p: Huehuetenango es un departamento.

q: Guatemala es un país.

 p ←→ q: Huehuetenango es un departamento si y sólo si Guatemala es un país.

Implicación o condicional

Condicional de las proposiciones p y q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q).

Ejemplo:

Dada la proposición directa

“Si Guatemala es un país, entonces Guatemala pertenece a Centroamérica”.

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: Guatemala es un país.

q: Guatemala pertenece a Centroamérica.   p ⇒ q

Si cambiamos el antecedente “Guatemala es un país” y el consecuente “Guatemala pertenece a Centroamérica”, se obtiene una nueva proposición condicional.  q ⇒ p: Si Guatemala pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala es un país. Esta nueva condicional se llama recíproca de la proposición dada.

Negación de la implicación o condicional

Si se niegan ambos lados de la proposición directa se obtiene la inversa de la proposición dada.   ͂ p ⇒  ͂q: Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica.

Doble implicación o bicondicional

Bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p ⇔ q (se lee “p si y solo si q”).

Si un número es múltiplo de seis, entonces es par y múltiplo de tres.  Si un número es par y múltiplo de tres, entonces es múltiplo de seis. Eso se escribiría: (x es múltiplo de seis ⇒ x es par y múltiplo de 3) y (x es par y múltiplo de 3 ⇒ x es múltiplo de seis). Para no escribir tanto, se usa la flecha doble de dos puntas ⇔.

Negación de la bicondicional o doble implicación

Ejemplo:

“Un triángulo tiene 3 ángulos si y solo si un cuadrado tiene 4 lados”

p: Un triángulo tiene 3 ángulos.

q: Un cuadrado tiene 4 lados.

(p ⇔ q)

͂ (p ⇔ q)

͂ (p ⇔ q) ≡ (p ˄  ͂ q) ˅ ( q ˄  ͂ p)

La negación de la proposición es: “Un triángulo tiene 3 ángulos y un cuadrado no tiene 4 lados, o un cuadrado tiene 4 lados y un triángulo no tiene 3 ángulos”.

Referencias:

Apuntes de lógica matemática. Francisco José González Gutiérrez
Cádiz, Abril de 2005.