Teoría de conjuntos
Simbología de conjuntos
Símbolo Descripción
{} Conjunto
∈ Es
un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉ No
es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
⎜ Tal
que.
n (C) Cardinalidad del
conjunto C.
U Conjunto
Universo.
Φ Conjunto Vacío.
⊆ Subconjunto
de.
⊂ Subconjunto
propio de.
⊄ No
es subconjunto propio de.
> Mayor que.
< Menor que.
≥ Mayor o igual
que.
≤ Menor o igual
que.
∩ Intersección de conjuntos.
∪ Unión
de Conjuntos.
A' Complemento del
conjunto A.
= Símbolo de
igualdad.
≠ No es igual a.
... El conjunto
continúa.
==> Entonces.
⇔ Si y
sólo sí.
∼ No
(es falso que).
∧ Y
∨ O
Relación de la lógica proposicional con las
operaciones entre conjuntos
Después de ver las definiciones
de las operaciones estudiemos algunas propiedades que satisfacen las llamadas leyes del álgebra de conjuntos.
Para empezar veamos que la
diferencia y la diferencia simétrica se pueden escribir en función de unión, intersección
y complemento. Como en el caso de proposiciones lógicas, también la unión se
puede expresar en términos del complemento y la intersección, o la intersección
en función del complemento y la unión pero es habitual considerar estas tres
por el paralelismo con las proposiciones.
Dado un conjunto E y subconjuntos
A y B del mismo
A \ B = A ∩ Bc,
A4B = (A ∩ Bc) ∪
(B ∩ Ac).
Para probar la primera igualdad escribimos la
definición de cada miembro y comprobamos que son iguales:
A \ B = {x ∈
E |(x ∈
A) ∧
(x /∈
B)},
A ∩ Bc = {x ∈
E |(x ∈
A) ∧
(x ∈
Bc)} = {x ∈ E, (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}, donde se ha sustituido x ∈
Bc por su proposición equivalente x /∈ B.
Para probar la segunda igualdad
basta usar la definición de diferencia simétrica.
Entonces, las leyes del álgebra
de conjuntos son las leyes del álgebra
de las operaciones complemento, unión e intersección. A continuación enumeramos
algunas de tales leyes. No son todas, pues se pueden deducir otras nuevas a
partir de estas. Tampoco son independientes entre ellas, pues algunas de la
lista se pueden deducir de otras. Es una elección arbitraria de las más útiles
y habituales.
Sea E un conjunto y A, B y C
subconjuntos arbitrarios de él.
Entonces se cumple:
1. Ley del doble complemento:
(Ac)c= A.
2. Leyes de impotencia:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A.
3. Leyes conmutativas:
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A.
4. Leyes asociativas:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪
C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
CONJUNTOS
5. Elementos neutros de la unión y la intersección: el vacío es neutro
de la unión y el conjunto E es neutro de la intersección:
A ∪ ∅ = A,
A ∩ E = A.
6. Elementos dominantes de la unión y la intersección: el conjunto E es
dominante en la unión y el vacío lo es en la intersección:
A ∪ E = E,
A ∩ ∅ = ∅.
7. Leyes del complemento:
A ∪ Ac = E,
A ∩ Ac = ∅.
8. Leyes distributivas:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪
B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)
∪
(A ∩ C).
9. Leyes de absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A,
A ∩ (A ∪ B) = A.
10. Leyes de De Morgan:
(A ∪ B)c
= Ac ∩ Bc,
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
Uso de conjuntos en la toma de decisiones
En la vida real, y tanto en el
ámbito profesional como el personal, nos vemos enfrentados a multitud de
situaciones en las que tenemos que decidir entre varias alternativas.
En el planteamiento convencional
de la toma de decisión se tienen en cuenta los siguientes elementos, S. Ríos
(1976):
El decisor que viene dado por la
persona o grupo de personas interesadas en resolver el problema en cuestión.
Este decisor, de acuerdo con sus preferencias, adoptará una única decisión, la
óptima.
El conjunto de alternativas,
sobr4e las cuales realizara el decisor su elección.
El conjunto de las restricciones
referentes a la elección a realizar en el conjunto de las alternativas.
El ambiente en el que se
desenvuelve la decisión, también denominado naturaleza, que recoge el conjunto
de factores no controlados por el decisor. Este ambiente o naturaleza es
susceptible de separarse en estados, constituyendo cada uno de estos un
conjunto de características que individualizan la situación del decisor en lo
que se refiere al mundo exterior.
El conocimiento relativo sobre
tales estados hace posible hablar de tres tipos de ambientes (Luce y Raiffa,
1957):
Ø Ambiente
de certeza total, que se da cuando el decisor conoce los estados posibles y
sabe cuál se presentará.
Ø Ambiente
de riesgo, en el cual los estados se consideran aleatorios y se supone conocida
a su ley de probabilidad.
Ø Ambiente
de incertidumbre, o de ausencia de información sobre los estados de la
naturaleza.
Referencias
Castillo, C. I. (s.f.). Lógica y
teoría de conjuntos.
Raposo, A. P. (s.f.). Lógica,
conjuntos, relaciones y funciones.
S., L. (1996). Teoría de
conjuntos y temas afines. McGraw-Hill.
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