Método de George Pólya
La obra de George Pólya es
bien conocida por todos los matemáticos, ya sean investigadores o profesores
que se limiten a su labor docente. Es uno de los nombres míticos en la historia
moderna de las matemáticas y su enseñanza, sobre todo a través de los
problemas. Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro
pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas
de solución que puede tener un problema.
La aplicación de este método
permite la comprensión de situaciones matemáticas, en cuatro pasos
fundamentales, los mismos que conducen a la solución de dichos problemas, en
particular las operaciones mentales típicamente útiles en este proceso. (Pólya,
1989, p.102). En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del
descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. La obra de
Pólya explota la inquietud que todos poseemos por descubrir y pone en juego las
facultativas inventivas para resolver problemas. Está basado en un
estudio profundo de los métodos de solución llamado método Pólya.
Para ello el profesor de
matemática tiene una gran oportunidad de poner a prueba la curiosidad de
los estudiantes, planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les
ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá
despertarles el gusto por el pensamiento significativo y proporcionarles
ciertos recursos para ellos. El método Pólya está constituido por estrategias
generales de resolución y reglas de decisión utilizadas para la solución de
problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares. Este
método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos
parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y
"problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento
rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una
pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había
ensayado antes para dar la respuesta.
Etapas en la aplicación del
método de George Pólya
Pólya (1949), citado por Echenique (2006),
establece cuatro etapas en la resolución de un problema:
1.
Comprender el problema
Implica entender tanto el
texto como la situación que presenta el problema, diferenciar los distintos
tipos de información que ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con
la información que es aportada. Se debe leer el enunciado despacio, tratando de
contestar las siguientes interrogantes:
Ø ¿Entiendes
todo lo que dice?
Ø ¿Puedes
replantear el problema en tus propias palabras?
Ø ¿Distingues
cuáles son los datos?
Ø ¿Sabes
a qué quieres llegar?
Ø ¿Hay
suficiente información?
Ø ¿Hay
información extraña?
Ø ¿Es
este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
2.
Diseñar un plan
Es la parte fundamental del
proceso de resolución de problemas. Una vez comprendida la situación
planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el
momento de planificar las acciones que llevarán a ella, es necesario abordar
cuestiones como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué
puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y en qué orden se
debe proceder. Asimismo, que cada problema amerita una determinada estrategia y
muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias. Algunas de
las estrategias que se pueden utilizar son:
·
Ensayo
y Error: Esta estrategia consiste en elegir soluciones u
operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados u
operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es
posible. Después de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino
tomando en consideración los ensayos ya realizados.
·
Usar
una variable: Es una cantidad susceptible de tomar distintos
valores numéricos dentro de un conjunto de números específicos. Una variable es
un símbolo constituyente de un predicado, formula, algoritmo o de una proposición.
·
Buscar
un Patrón: Esta estrategia empieza por considerar algunos casos
particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solución
general que sirva para todos los casos. Es muy útil cuando el problema
presenta secuencias de números o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es
usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalización.
·
Hacer
una lista: Podemos transformar una serie de elementos existentes en
una lista.
·
Resolver
un problema similar más simple: Para obtener la solución de
un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos
más sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del
problema planteado, más complejo.
·
Hacer
una figura: En otros problemas se puede llegar fácilmente
a la solución si se realiza una figura. Esto ocurre porque se piensa mucho
mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.
·
Hacer
un diagrama: En otros problemas se puede llegar fácilmente
a la solución si se realiza un diagrama; es decir, si se halla la
representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo
de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.
·
Usar
razonamiento directo: Se usa virtualmente todo el tiempo junto a
otras estrategias cuando se resuelven problemas. El razonamiento directo se usa
para alcanzar una conclusión valida a partir de una serie de proposiciones. Con
frecuencia las proposiciones que involucran el razonamiento directo son de la
forma “Si A entonces B”.
·
Usar
razonamiento indirecto: En matemáticas, ocasionalmente hay
problemas que no son fácilmente solubles mediante el razonamiento directo. En
tales casos, el razonamiento indirecto puede ser la mejor forma de resolver el
problema.
·
Usar las
propiedades de los Números: Entender la naturaleza intrínseca de los
números a menudo es útil para la solución de problemas.
·
Resolver
un problema equivalente: La interpretación o punto de vista propio
de algún problema puede algunas veces cambiar un problema aparentemente difícil
en uno que es fácilmente soluble.
·
Trabajar
hacia atrás: Esta es una estrategia muy interesante cuando
el problema implica un juego con números. Se empieza a resolverlo con sus datos
finales, realizando las operaciones que deshacen las originales.
·
Usar
casos: Muchos problemas pueden ser resueltos más fácilmente si se
parte el problema en varios casos.
·
Resolver
una ecuación: Con frecuencia, cuando aplicamos la estrategia
usar una variable para resolver un problema, la representación del problema conducirá
a una ecuación.
·
Buscar
una fórmula: Es especialmente apropiada en problemas que
involucran patrones numéricos. Esta con frecuencia, extiende y refina la
estrategia de buscar un patrón y proporciona información más general.
·
Hacer
una simulación: Una simulación es una representación de un
experimento usando algunos objetos apropiados o incluso algún programa de
computadora adecuado para el caso. El propósito de una simulación es correr
muchas réplicas de un experimento que en realidad sería muy difícil llevar a
cabo.
·
Usar
un modelo: Es muy útil en problemas que involucran figuras geométricas
o sus aplicaciones. Un modelo, es cualquier objeto físico que se asemeja al
objeto buscado en el problema.
·
Usar
análisis dimensional: Es útil en problemas de aplicación que
involucran conversiones entre unidades de medida. Por ejemplo problemas de
distancia entre tiempo.
·
Identificar
sub-metas: Muchos problemas complejos pueden atacarse
buscando “sub-metas” o sea, resultados intermedios que conducen a la solución final.
En lugar de buscar directamente una solución total para el problema, con
frecuencia podemos obtener información por partes, y una vez que las juntamos,
llegamos a la solución del problema completo.
·
Usar
coordenadas: En muchos problemas de geometría bidimensional,
podemos usar una cuadricula en el plano llamada sistema de coordenadas con el
fin de obtener información numérica adicional. Por lo tanto, esta estrategia
puede usarse para resolver problemas acerca de figuras bidimensionales. Los
sistemas de coordenadas también se pueden usar en el espacio tridimensional.
·
Usar
simetría: En algunos problemas pueden darse varios tipos de simetría
geométrica o numérica. La simetría geométrica involucra una correspondencia
entre puntos y tal vez entre formas y medidas.
3.
Ejecutar el plan
Consiste en la puesta en
práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. En esta fase
se realiza y controla el proceso de ejecución. Dentro de esta fase se tendrá en
cuenta lo siguiente:
Ø Al
ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
Ø Antes
de hacer algo se debe pensar ¿Qué se consigue con esto?
Ø Se
debe acompañar cada operación matemática de una explicación, detallando lo qué
se hace y para qué se hace.
Ø No
tener miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una
nueva estrategia conducen al éxito.
Ø Comprueba
y verifica cada paso.
4.
Mirar hacia atrás
Es conveniente realizar una
revisión del proceso seguido, para analizar si es o no correcto el modo
como se ha llevado a cabo la resolución. Es preciso contrastar el resultado
obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación
planteada, reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras
vías, utilizando otros razonamientos. Algunas interrogantes:
Ø ¿Es tu
solución correcta?
Ø ¿Tu
respuesta satisface lo establecido en el problema?
Ø ¿Adviertes
una solución más sencilla?
Ø ¿Puedes
ver cómo extender tu solución a un caso general?
Referencias
Víctor M. Hernández L. y Martha
C. Villalba G. Abril del 2003.
Lic. José Concepción Vega Rimarachín.
Universidad Nacional de Cajamarca. 2014.
