Estrategias de George Pólya

Método de George Pólya

La obra de George Pólya es bien conocida por todos los matemáticos, ya sean investigadores o profesores que se limiten a su labor docente. Es uno de los nombres míticos en la historia moderna de las matemáticas y su enseñanza, sobre todo a través de los problemas. Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede tener un problema.

La aplicación de este método permite la comprensión de situaciones matemáticas, en cuatro pasos fundamentales, los mismos que conducen a la solución de dichos problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en este proceso. (Pólya, 1989, p.102). En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. La obra de Pólya explota la inquietud que todos poseemos por descubrir y pone en juego las facultativas inventivas para resolver  problemas. Está basado en un estudio profundo de los métodos de solución llamado método Pólya.

Para ello el profesor de matemática tiene una gran oportunidad de  poner a prueba la curiosidad de los estudiantes, planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de  preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento significativo y proporcionarles ciertos recursos para ellos. El método Pólya está constituido por estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas para la solución de problemas,  basadas en la experiencia previa con problemas similares. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos,  por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.

Etapas en la aplicación del método de George Pólya

Pólya (1949), citado por Echenique (2006), establece cuatro etapas en la resolución de un problema:

1.    Comprender el problema

Implica entender tanto el texto como la situación que presenta el problema, diferenciar los distintos tipos de información que ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con la información que es aportada. Se debe leer el enunciado despacio, tratando de contestar las siguientes interrogantes:

Ø  ¿Entiendes todo lo que dice?

Ø  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

Ø  ¿Distingues cuáles son los datos?

Ø  ¿Sabes a qué quieres llegar?

Ø  ¿Hay suficiente información?

Ø  ¿Hay información extraña?

Ø  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

2.    Diseñar un plan

Es la parte fundamental del proceso de resolución de  problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevarán a ella, es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder. Asimismo, que cada problema amerita una determinada estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias. Algunas de las estrategias que se pueden utilizar son:

·         Ensayo y Error: Esta estrategia consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible. Después de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en consideración los ensayos ya realizados.

·         Usar una variable: Es una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números específicos. Una variable es un símbolo constituyente de un predicado, formula, algoritmo o de una proposición.

·         Buscar un Patrón: Esta estrategia empieza por considerar algunos casos  particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solución general que sirva para todos los casos. Es muy útil cuando el  problema presenta secuencias de números o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalización.

·         Hacer una lista: Podemos transformar una serie de elementos existentes en una lista.

·         Resolver un problema similar más simple: Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos más sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del problema  planteado, más complejo.

·         Hacer una figura: En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza una figura. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.

·         Hacer un diagrama: En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un diagrama; es decir, si se halla la representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números o símbolos.

·         Usar razonamiento directo: Se usa virtualmente todo el tiempo junto a otras estrategias cuando se resuelven problemas. El razonamiento directo se usa para alcanzar una conclusión valida a partir de una serie de proposiciones. Con frecuencia las proposiciones que involucran el razonamiento directo son de la forma “Si A entonces B”.

·         Usar razonamiento indirecto: En matemáticas, ocasionalmente hay problemas que no son fácilmente solubles mediante el razonamiento directo. En tales casos, el razonamiento indirecto puede ser la mejor forma de resolver el problema.

·         Usar las propiedades de los Números: Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil para la solución de problemas.

·         Resolver un problema equivalente: La interpretación o punto de vista propio de algún problema puede algunas veces cambiar un problema aparentemente difícil en uno que es fácilmente soluble.

·         Trabajar hacia atrás: Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema implica un juego con números. Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando las operaciones que deshacen las originales.

·         Usar casos: Muchos problemas pueden ser resueltos más fácilmente si se parte el problema en varios casos.

·         Resolver una ecuación: Con frecuencia, cuando aplicamos la estrategia usar una variable para resolver un problema, la representación del problema conducirá a una ecuación.  

·         Buscar una fórmula: Es especialmente apropiada en problemas que involucran patrones numéricos. Esta con frecuencia, extiende y refina la estrategia de buscar un patrón y proporciona información más general.

·         Hacer una simulación: Una simulación es una representación de un experimento usando algunos objetos apropiados o incluso algún programa de computadora adecuado para el caso. El propósito de una simulación es correr muchas réplicas de un experimento que en realidad sería muy difícil llevar a cabo.

·         Usar un modelo: Es muy útil en problemas que involucran figuras geométricas o sus aplicaciones. Un modelo, es cualquier objeto físico que se asemeja al objeto buscado en el problema.

·         Usar análisis dimensional: Es útil en problemas de aplicación que involucran conversiones entre unidades de medida. Por ejemplo problemas de distancia entre tiempo.

·         Identificar sub-metas: Muchos problemas complejos pueden atacarse buscando “sub-metas” o sea, resultados intermedios que conducen a la solución final. En lugar de buscar directamente una solución total para el problema, con frecuencia podemos obtener información por partes, y una vez que las juntamos, llegamos a la solución del problema completo.  

·         Usar coordenadas: En muchos problemas de geometría bidimensional, podemos usar una cuadricula en el plano llamada sistema de coordenadas con el fin de obtener información numérica adicional. Por lo tanto, esta estrategia puede usarse para resolver problemas acerca de figuras bidimensionales. Los sistemas de coordenadas también se pueden usar en el espacio tridimensional.

·         Usar simetría: En algunos problemas pueden darse varios tipos de simetría geométrica o numérica. La simetría geométrica involucra una correspondencia entre puntos y tal vez entre formas y medidas.

3.    Ejecutar el plan

Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. En esta fase se realiza y controla el proceso de ejecución. Dentro de esta fase se tendrá en cuenta lo siguiente:

Ø  Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.

Ø  Antes de hacer algo se debe pensar ¿Qué se consigue con esto?

Ø  Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación, detallando lo qué se hace y para qué se hace.

Ø  No tener miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Ø  Comprueba y verifica cada paso.

4.    Mirar hacia atrás

Es conveniente realizar una revisión del proceso seguido,  para analizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolución. Es preciso contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada, reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías, utilizando otros razonamientos. Algunas interrogantes:

Ø  ¿Es tu solución correcta?

Ø  ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

Ø  ¿Adviertes una solución más sencilla?

Ø  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Referencias

Víctor M. Hernández L. y Martha C. Villalba G. Abril del 2003.

Lic. José Concepción Vega Rimarachín. Universidad Nacional de Cajamarca. 2014.