Proposiciones y tabla de verdad

Proposiciones y tabla de verdad

Proposición

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominamos enunciados o preposiciones.

Las preposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r… la notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”, a este tipo de proposiciones se les llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Valor de verdad

El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Ejemplo:

(a) p: Existe Premio Nobel de informática.

(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.

(d) s: Cinco más siete es grande.

Solución

(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.

Tablas de verdad

Conjunción

Si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa.

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Ejemplo:

p: Ella está comiendo.

q: Es de noche  

p ∧ q: Ella está comiendo y es de noche.

Disyunción

Llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ó q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es.

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ejemplo:

p: Él es músico

q: Es bailarín.

p ∨ q: Él es músico ó es bailarín.

Disyunción exclusiva

Llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p ó q pero no ambos” y la notaremos p ṿ q. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

p	q	p ṿ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Negación

Llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

p	¬p
V	F
F	V

Ejemplo:

p: Es estudiante.

¬p: No es estudiante.

Proposición condicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama “proposición condicional” y se nota por p → q.

P	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Ejemplo:

p: Juan tiene dos mascotas.

q: Ambos son perros.

p → q: Si Juan tiene dos mascotas, entonces ambos son perros.

Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y sólo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q.

La interpretación del enunciado es: p sólo si q y p si q,  o lo que es igual si p, entonces q y si q, entonces p, es decir, (p → q) ∧ (q → p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

p	q	p → q	q → p	p ←→ q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

 Ejemplo:

p: Huehuetenango es un departamento.

q: Guatemala es un país.

 p ←→ q: Huehuetenango es un departamento si y sólo si Guatemala es un país.

Implicación o condicional

Condicional de las proposiciones p y q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q).

Ejemplo:

Dada la proposición directa

“Si Guatemala es un país, entonces Guatemala pertenece a Centroamérica”.

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: Guatemala es un país.

q: Guatemala pertenece a Centroamérica.   p ⇒ q

Si cambiamos el antecedente “Guatemala es un país” y el consecuente “Guatemala pertenece a Centroamérica”, se obtiene una nueva proposición condicional.  q ⇒ p: Si Guatemala pertenece a Centroamérica, entonces Guatemala es un país. Esta nueva condicional se llama recíproca de la proposición dada.

Negación de la implicación o condicional

Si se niegan ambos lados de la proposición directa se obtiene la inversa de la proposición dada.   ͂ p ⇒  ͂q: Si Guatemala no es un país, entonces Guatemala no pertenece a Centroamérica.

Doble implicación o bicondicional

Bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p ⇔ q (se lee “p si y solo si q”).

Si un número es múltiplo de seis, entonces es par y múltiplo de tres.  Si un número es par y múltiplo de tres, entonces es múltiplo de seis. Eso se escribiría: (x es múltiplo de seis ⇒ x es par y múltiplo de 3) y (x es par y múltiplo de 3 ⇒ x es múltiplo de seis). Para no escribir tanto, se usa la flecha doble de dos puntas ⇔.

Negación de la bicondicional o doble implicación

Ejemplo:

“Un triángulo tiene 3 ángulos si y solo si un cuadrado tiene 4 lados”

p: Un triángulo tiene 3 ángulos.

q: Un cuadrado tiene 4 lados.

(p ⇔ q)

͂ (p ⇔ q)

͂ (p ⇔ q) ≡ (p ˄  ͂ q) ˅ ( q ˄  ͂ p)

La negación de la proposición es: “Un triángulo tiene 3 ángulos y un cuadrado no tiene 4 lados, o un cuadrado tiene 4 lados y un triángulo no tiene 3 ángulos”.

Referencias:

Apuntes de lógica matemática. Francisco José González Gutiérrez
Cádiz, Abril de 2005.